Сигнал называется периодическим , если его форма циклически повторяется во времени. Периодический сигнал в общем виде записывается так:

Здесь - период сигнала. Периодические сигналы могут быть как простыми, так и сложными.

Для математического представления периодических сигналов с периодом часто пользуются этим рядом, в котором как базисные функции выбираются гармонические (синусоидальные и косинусоидальные) колебания кратных частот:

где . - основная угловая частота последовательности функций. При гармонических базисных функциях из этого ряда получим ряд Фурье, который в простейшем случае можно записать в следующем виде:

где коэффициенты

Из ряда Фурье видно, что в общем случае периодический сигнал содержит постоянную составляющую и набор гармонических колебаний основной частоты и ее гармоник с частотами . Каждое гармоническое колебание ряда Фурье характеризуется амплитудой и начальной фазой .

Спектральная диаграмма и спектр периодического сигнала .

Если какой - либо сигнал представлен в виде суммы гармонических колебаний с разными частотами, то это означает, что было осуществлено спектральное разложение сигнала.

Спектральной диаграммой сигнала называется графическое изображение коэффициентов ряда Фурье этого сигнала. Существуют амплитудные и фазовые диаграммы. Для построения этих диаграмм, в некотором масштабе по горизонтальной оси откладываются значения частот гармоник, а по вертикальной оси - их амплитуды и фазы . Причем амплитуды гармоник могут принимать только положительные значения, фазы - как положительные, так и отрицательные значения в интервале .

Спектральные диаграммы периодического сигнала:

а) - амплитудная; б) - фазовая.

Спектр сигнала - это совокупность гармонических составляющих с конкретными значениями частот, амплитуд и начальных фаз, образующих в сумме сигнал. На практике спектральные диаграммы называются более кратко - амплитудный спектр , фазовый спектр . Наибольший интерес проявляют к амплитудной спектральной диаграмме. По ней можно оценить процентное содержание гармоник в спектре.

Спектральные характеристики в технике электросвязи играют большую роль. Зная спектр сигнала можно правильно рассчитать и установить полосу пропускания усилителей, фильтров, кабелей и других узлов каналов связи. Знание спектров сигналов необходимо для построения многоканальных систем с частотным разделением каналов. Без знания спектра помехи трудно принять меры для ее подавления.

Из этого можно сделать вывод, что спектр надо знать для осуществления неискаженной передачи сигнала по каналу связи, для обеспечения разделения сигналов и ослабления помех.

Для наблюдения за спектрами сигналов существует приборы, которые называются анализаторами спектра . Они позволяют наблюдать и измерять параметры отдельных составляющих спектра периодического сигнала, а также измерять спектральную плотность непрерывного сигнала.

В данном разделе мы рассмотрим спектр периодической последовательности прямоугольных импульсов, как одного из важнейших сигналов, используемого в практических приложениях.

Спектр периодической последовательности прямоугольных импульсов

Пусть входной сигнал представляет собой периодическую последовательность прямоугольных импульсов амплитуды , длительности секунд следующих с периодом секунд, как это показано на рисунке 1

Рисунок 1. Периодическая последовательность прямоугольных импульсов

Единица измерения амплитуды сигнала зависит от физического процесса, который описывает сигнал . Это может быть напряжение, или, сила тока, или любая другая физическая величина со своей единицей измерения, которая меняется во времени как . При этом, единицы измерения амплитуд спектра , , будут совпадать с единицами измерения амплитуды исходного сигнала.

Тогда спектр , , данного сигнала может быть представлен как:

Свойства спектра периодической последовательности прямоугольных импульсов

Рассмотрим некоторые свойства огибающей спектра периодической последовательности прямоугольных импульсов.

Постоянная составляющая огибающей может быть получена как предел:

Для раскрытия неопределенности воспользуемся правилом Лопиталя :

Где называется скважностью импульсов и задает отношение периода повторения импульсов к длительности одиночного импульса.

Таким образом, значение огибающей на нулевой частоте равно амплитуде импульса деленной на скважность. При увеличении скважности (т.е. при уменьшении длительности импульса при фиксированном периоде повторения) значение огибающей на нулевой частоте уменьшается.

Используя скважность импульсов выражение (1) можно переписать в виде:

Нули огибающей спектра последовательности прямоугольных импульсов можно получить из уравнения:

Знаменатель обращается в ноль только при , однако, как мы выяснили выше , тогда решением уравнения будет

Тогда огибающая обращается в ноль если

На рисунке 2 показана огибающая спектра периодической последовательности прямоугольных импульсов (пунктирная линия) и частотные соотношения огибающей и дискретного спектра .

Рисунок 2. Cпектр периодической последовательности прямоугольных импульсов

Из рисунка 2 можно заметить, что фазовый спектр принимает значения когда огибающая имеет отрицательные значения. Заметим, что и соответствуют одной и той же точке комплексной плоскости равной .

Пример спектра периодической последовательности прямоугольных импульсов

Пусть входной сигнал представляет собой периодическую последовательность прямоугольных импульсов амплитуды , следующих с периодом секунды и различной скважностью . На рисунке 3а показаны временные осциллограммы указанных сигналов, их амплитудные спектры (рисунок 3б), а также непрерывные огибающие спектров (пунктирная линия).

Рисунок 3. Cпектр периодической последовательности прямоугольных импульсов при различном значении скважности
а — временные осциллограммы; б — амплитудный спектр

Как можно видеть из рисунка 3, при увеличении скважности сигнала, длительность импульсов уменьшается, огибающая спектра расширяется и уменьшается по амплитуде (пунктирная линия). В результате, в пределах главного лепестка увеличивается количество гармоник спектра .

Спектр смещенной во времени периодической последовательности прямоугольных импульсов

Выше мы подробно изучили спектр периодической последовательности прямоугольных импульсов для случая, когда исходный сигнал являлся симметричным относительно . В результате спектр такого сигнала является вещественным и задается выражением (1). Теперь мы рассмотрим, что произойдет со спектром сигнала если мы сместим сигнал во времени,как это показано на рисунке 4 .

Рисунок 4. Сдвинутая во времени периодическая последовательность прямоугольных импульсов

Смещенный сигнал можно представить как сигнал , задержанный на половину длительности импульса . Спектр смещенного сигнала можно представить согласно свойству циклического временного сдвига как:

Таким образом, спектр периодической последовательности прямоугольных импульсов, смещенной относительно нуля, не является чисто вещественной функцией, а приобретает дополнительный фазовый множитель . Амплитудный и фазовый спектры показаны на рисунке 5.

Рисунок 5. Амплитудный и фазовый спектры сдвинутой во времени периодической последовательности прямоугольных импульсов

Из рисунка 5 следует, что сдвиг периодического сигнала во времени не изменяет амплитудный спектр сигнала, но добавляет линейную составляющую к фазовому спектру сигнала.

Выводы

В данном разделе мы получили аналитическое выражение для спектра периодической последовательности прямоугольных импульсов.

Мы рассмотрели свойства огибающей спектра периодической последовательности прямоугольных импульсов и привели примеры спектров при различном значении скважности.

Также был рассмотрен спектр при смещении во времени последовательности прямоугольных импульсов и показано, что смещение во времени изменяет фазовый спектр и не влияет на амплитудный спектр сигнала.

Дёч, Г. Руководство по практическому применению преобразования Лапласа. Москва, Наука, 1965, 288 c.

СПЕКТРАЛЬНЫЙ АНАЛИЗ СИГНАЛОВ

В радиотехнике (связь, навигация, телевидение, радиолокация) при передаче информации широко используются сигналы сложной формы. Для анализа прохождения таких сигналов через цепь действуют таким способом: представляют сложный сигнал в виде суммы гармоничных колебаний и известным методом (например метод комплексных амплитуд) анализируют прохождение через цепь каждой гармоники. В соответствии с принципом суперпозиции форма исходного сигнала определяется как сумма исходных гармоник.

Представление сложного сигнала в виде гармонических колебаний поясняется тем, что гармонический сигнал является единственным сигналом, который при прохождении через цепь не изменяет своей формы. Изменяется только его амплитуда и начальная фаза, что существенно упрощает анализ прохождения сложных сигналов.

Спектром сигнала называется совокупность гармонических колебаний, из которых состоит сам сигнал.

Если говорить более строго, то существует два основных типа спектров: амплитудночастотный (амплитудный) и фазочастотный (фазовый) спектр.

Амплитудным спектром называется распределение амплитуд гармонических составляющих по частоте.

Фазовым спектром называется распределение начальных фаз гармонических составляющих по частоте.

Изображение амплитудного и фазового спектра

Амплитудний спектр

Амплитудный спектр всегда положителен. Фазовый спектр может быть как положительным, так и отрицательным.

Спектр периодических сигналов

Для спектрального представления периодических колебаний используется разложение этих колебаний в тригонометрический ряд Фурье:

- период периодического сигнала.

Спектр периодической последовательности прямоугольных видеоимпульсов

Согласно рисунку функция
является чётной. Тогда в тригонометрической форме записи ряда остаются только косинусоидальные члены, потому что коэффициенты равняются нулю.

Определим величину постоянной составляющей и амплитуды гармоник

- скважность. Таким образом

Амплитудный спектр

П
оскольку основная часть энергии импульса сосредоточена в области главного лепестка, то за ширину спектра принимается ширина главного лепестка

Теоретически спектр простирается до бесконечности.

Фазовый спектр

Спектр непериодического сигнала

Рассмотрим непериодический сигнал
, заданный в виде некоторой функции, отличающейся от нуля в промежутке
. Дополним сигнал до периодического как показан на рисунке.

Выделим произвольный отрезок времени T , что включает у себя промежуток , та представим заданий сигнал в виде комплексного ряда Фурье

,

где
Коэффициенты определяются выражением

Чтобы перейти к одиночному импульсу, нужно перейти к пределу при
.

Если , тогда

В итоге получим

Прямое преобразование

Еличина

называется спектральной плотностью .

Физически спектральная плотность характеризует суммарную амплитуду колебаний единичной области частот спектра сигнала, а величина
характеризует суммарную амплитуду колебаний области частот
.

Спектр непериодического сигнала является сплошным.

Зная спектральную плотность, можно найти форму сигнала

Обратное преобразование Фурье

Аким образом

Свойства спектральной плотности

Между сигналом и его спектром
существует однозначное соответствие, которое выражается рядом свойств.

1. Модуль спектральной плотности является чётной функцией частоты, а аргумент - нечётной:

2. Соотношение между спектрами периодического и непериодического сигналов.

Пусть имеем сигнал и соответствующую ему спектральную плотность
. При следовании импульсов с периодом интервал между соседними гармониками составляет . Амплитуда -ой гармоники соответственно равна

Спектральная плотность непериодического сигнала

Отсюда находим

Вывод. Модуль спектральной плотности непериодического сигнала (одиночного импульса) и огибающая линейчатого спектра периодического сигнала (последовательности импульсов) совпадают по форме и отличаются только масштабом.

3. Свойство линейности. Исходя из того, что преобразование Фурье является линейным, при сложении сигналов
и которые имеют спектры
и
, суммарный сигнал
будет иметь спектр
.

4. Сдвиг сигналов по времени (теорема запаздывания). Сигнал
произвольной формы имеет спектральную плотность
.

При задержке этого сигнала на время t 0 (при сохранении его формы) получим новую функцию
. Определим спектральную плотность сигнала

Введем новую переменную
. Тогда получим

Таким образом, сдвиг по времени функции на приводит к изменению фазовой характеристики спектра на величину
. Модуль спектральной плотности от положения сигнала на временной оси не зависит.

5. Изменение масштаба времени (теорема масштабов) . Сигнал
длительностью  и поддается сжатию по времени. Новый сжатый сигнал

Длительность сигнала
в раз меньше чем и равняется
. Определим спектральную плотность сжатого сигнала

Введем новую переменную
тогда

.

При временном сжатии сигнала в раз во столько же раз расширяется его спектр.

6
. Сдвиг спектра сигнала (теорема смещения) . Запишем спектральную плотность для произведения сигналов
и
.
.

Таким образом

В
ывод. Умножение функции на колебание
эквивалентно разделению спектра
на две части, которые смещены соответственно на
и
.

Данная теорема позволяет по спектру видеосигнала найти спектр радиосигнала (то есть сигнала с высокочастотным заполнением).

Из рисунка следует, что при значительной частоте заполнения радиоимпульса  0 можно в области положительных частот (отрицательных не существует) пренебречь слагаемым (1/2)( + 0) и определить спектральную плотность по приближённой формуле

7. Распределение энергии в спектре непериодического колебания

Энергия импульса при его прохождении через сопротивление равняется

Равенство Парсеваля

Вывод : квадрат модуля спектральной плотности имеет смысл энергетической плотности, то есть энергии, которая приходится на единицу полосы частот [Дж/Гц].

8. Свёртка сигналов. Пусть сигналам отвечает спектральная плотность
. То есть . Тогда произведению двух спектров
будет отвечать свёртка сигналов :

Спектральные плотности типовых импульсов

1. Экспоненциальный импульс:

Импульс такой формы возникает при грозових разрядах, в системах зажигания автомобилей. Везде, где есть трущиеся контакты.

2. Ступенчатая функция (функция Хевисайда):

Спектр находим из спектра экспоненциального импульса при
:

3. Прямоугольный видеоимпульс:

Воспользуемся формулой

Большая часть энергии импульса сосредоточена в области главного лепестка (более 90%). Потому за ширину спектра принимается ширина главного лепестка в положительной области частот:

4. Спектр единичного импульса (спектр функции Дирака)

Функция Дирака

Функция Дирака представляет собой предел последовательности прямоугольных видеоимпульсов, при условии что площадь
а длительность
.

Физически функция Дирака представляет собой импульс конечной энергии с очень малой длительностью и очень большой амплитудой. С помощью данного импульса описываются кратковременные сильные влияния (удары).

Таким образом

Вывод: спектр единичного импульса является постоянным и простирается до бесконечности.

5. Спектр импульса колокольной формы:

Особенность данного импульса заключается в том, что его форма совпадает с формой спектра.

6. Спектр прямоугольного радиоимпульса:

Для определения спектра воспользуемся

теоремой смещения

Спектральная плотность прямоугольного видеоимпульса

Следовательно

7. Спектр периодической последовательности прямоугольных радиоимпульсов

Для нахождения спектра воспользуемся связью между спектрами одиночного радиоимпульса и периодической последовательности

Некоторые импульсы, используемые в системах специальной связи

8. Спектр треугольного импульса

9. Спектр трапецеидального импульса

Спектральная плотность сигнала

Поскольку трапецеидальный импульс является результатом интегрирования импульса , то его спектральная плотность равна

Отсюда находим модуль спектральной плотности

При
спектральная плотность равна площади трапеции

.

Качественный вид спектральной плотности на положительных частотах:

Количество боковых лепестков определяется соотношением между и
. Чем меньше , то есть чем круче фронты типульса, тем больше количество боковых лепестков в области от 0 до . В пределе, когда крутизна фронтов стремится к бесконечности
спектр трапеции переходит в спектр прямоугольного импульса.

1
0. Спектр косинус-квадратного импульса

Для определения спектральной плотности воспользуемся преобразованием Лапласа. Для этого введём две функции:
и
.

Пусть
. Тогда в соответствии с теоремой запаздывания

Поскольку косинус-квадратный импульс равен

, то его спектральная плотность

Воспользовавшись формулой

,

Данному оригиналу соответствует изображение по Лапласу

Полагая
, находим комплексную спектральную плотность

Учитывая, что

Окончательно находим

Модуль спектральной плотности

Это следует из прямого преобразования Фурье.

Качественный вид спектральной плотности будет таким же как и у прямоугольного видеоимпульса. Только уровень боковых лепестков будет существенно ниже.

1
1. Спектр косинусоидального импульса

Определение ширины спектра и длительности импульсов

Поскольку сигнал имеет оганиченную длительность, то теоретически его спектр всегда бесконечен. Поэтому на практике ширину спектра сигнала определяют исходя из области частот, в которой сконцентрирована большая части энергии импульса (90%, 95%, 99%).

В общем случае ширина спектра и длительность импульса определяются из равенства Парсеваля

Ширина спектра
и длительность импульса (предполагается, что импульс начинается с нулевого момента времени) находятся из условий

Величина

Ширина спектра
и скорость убывания боковых лепестков
различных импульсов

Любой сигнал можно разложить на составляющие. Такое разложение сигнала называется спектральным. При этом сигнал можно представить в виде графика зависимости параметров сигнала от частоты, такая диаграмма называется спектральной или спектром сигнала.

Спектр сигнала — это совокупность простых составляющих сигнала с определенными амплитудами, частотами и начальными фазами.
Между спектром сигнала и его формой существует жесткая взаимосвязь: изменение формы сигнала приводит к изменению его спектра и наоборот, любое изменение спектра сигнала приводит к изменению его формы. Это важно запомнить, поскольку при передаче сигналов в системе передачи, они подвергаются преобразованиям, а значит, происходит преобразование их спектров.

Различают два вида спектральных диаграмм:
— спектральная диаграмма амплитуд;
— спектральная диаграмма фаз.

В спектральной диаграмме амплитуд — отображаются все составляющие со своими амплитудами и частотами.
В спектральной диаграмме фаз — отображаются все составляющие со своими начальными фазами и частотами.
Любой сигнал имеет одну спектральную диаграмму амплитуд и одну спектральную диаграмму фаз, в составе которых может содержаться множество составляющих.

Не зависимо от того, какой спектр (амплитуд или фаз), он изображается в виде множества линий — составляющих. В спектре амплитуд высота спектральной линии равна амплитуде составляющей сигнала, а в спектре фаз — начальной фазе составляющей. Причем: в спектре амплитуд все составляющие имеют положительные значения, а в спектре фаз как положительные, так и отрицательные. Если амплитуда спектральной составляющей имеет отрицательный знак, то в спектре амплитуд она берется по модулю, а в спектре фаз знак составляющей изменяется на противоположный.

Классификация спектров сигналов.
1. По виду спектры бывают дискретными (линейчатыми) или сплошными .
Дискретным является спектр, у которого можно выделить отдельные составляющие.
Сплошным является спектр, у которого нельзя выделить отдельные составляющие, так как они расположены настолько близко, что сливаются друг с другом.
2. По диапазону частот различают спектры ограниченные и неограниченные .
Ограниченным является спектр, у которого вся энергия сигнала (все спектральные составляющие) находятся в ограниченном диапазоне частот (fmax ? ?).
Неограниченным является спектр, у которого вся энергия сигнала находится в неограниченном диапазоне частот (fmax ? ?). На практике такие спектры ограничивают.

Спектральное представление периодических сигналов

1. Гармоническое колебание.
Математическая модель гармонического колебания имеет вид:

u(t)=Ums sin (?st+?s) (11)

Как видно из математической модели, в спектре данного колебания присутствует одна гармоническая составляющая, которая находится на частоте?s. Высота составляющей в спектре амплитуд равна амплитуде колебания Ums, а в спектре фаз — начальной фазе колебания?s. Причем при построении спектра необходимо учитывать связь между временной диаграммой сигнала и спектром амплитуд. Амплитуда составляющей спектра должна по высоте соответствовать амплитуде колебания на временной диаграмме.
Необходимо отметить, что при увеличении частоты сигнала, его составляющая будет удаляться по оси частот от нуля (рисунок 13).

Рисунок 13 - Спектральное представление гармонических колебаний

Как видно из рисунков, спектр гармонического колебания является дискретным и ограниченным.
2. Периодические, негармонические сигналы.
Основной особенностью спектрального представления таких сигналов является наличие в их спектре множества спектральных составляющих. Такие сигналы могут быть описаны рядом Фурье, согласно которому:

т. е. сигнал может быть представлен суммой постоянной составляющей и множества гармонических составляющих.

Преобразуем данный ряд, используя тригонометрическое свойство

sin(x+y) = sin x cos y + cos x sin y (13)

Полагая что x=?k и y=k?ct получим:

Поскольку Umk и?k являются параметрами ряда, то их можно обозначить коэффициентами

Umk sin ? k = ak; Umk cos ?k = bk (15)

Тогда ряд примет вид:

Параметры ряда можно определить через коэффициенты ak и bk:

где k=1, 2, 3 …

Амплитуда постоянной составляющей и коэффициенты могут быть определены через значение сигнала u(t):

Из ряда следует, что если описываемый сигнал является четной функцией f(t)=f(-t), то ряд будет иметь только косинусоидальные составляющие, так как bk=0, если нечетная функция (f(t) ? f(-t)), то рад содержит только синусоидальные составляющие (ak=0).
Рассмотрим спектральное представление периодических, негармонических сигналов на примере периодической последовательности прямоугольных импульсов (ПППИ).
При построении спектра необходимо рассчитать следующие параметры:
а) скважность сигнала:

б) значение постоянной составляющей:

в) частоту первой гармоники спектра, которая равна частоте сигнала:

г) амплитуды гармонических составляющих спектра:

При построении спектра необходимо отметить следующие особенности:
1. Все гармонические составляющие находятся на частотах, кратных частоте первой гармоники (2?1, 3?1, 4?1 и т. д.);
2. Для спектра амплитуд:
а) спектр ПППИ имеет лепестковый характер, т. е. в спектре можно выделить множество «лепестков»;
б) количество гармонических составляющих в лепестке зависит от скважности и равно q — 1;
в) амплитуды гармонических составляющих, находящихся на частотах, кратных скважности, равны нулю;
г) форма спектра обозначается огибающей — пунктирной линией, плавно соединяющей вершины гармонических составляющих;
д) точка, из которой исходит огибающая, равна 2U0 или 2I0.
3. Для спектра фаз:
а) все гармонические составляющие, на частотах, не кратных скважности, имеют одинаковую высоту, равную?/2 (90°);
б) все гармонические составляющие в одном лепестке имеют одинаковый знак, а в соседних противоположный.
в) составляющие на частотах кратных скважности имеют начальную фазу равную нулю.
Спектры ПППИ при скважности q=3 представлены на рисунке 14.
Как видно из диаграмм спектр ПППИ является дискретным и неограниченным. Поэтому за ширину спектра принимают диапазон частот, в пределах которого находится два первых лепестка, т. к. в них содержится около 95% энергии сигнала:

Fs = 2/?и. (26)

Рисунок 14 - Спектральное представление ПППИ: а) временная диаграмма; б) спектральная диаграмма амплитуд; в) спектральная диаграмма фаз

Как видно из формулы ширина спектра ПППИ зависит только от длительности импульса и не зависит от его периода.
3. Непериодические сигналы .
Поскольку в непериодических сигналах нельзя выделить период, т. к. Т??, то рассчитать и построить спектр тем же методом, что и для периодических сигналов нельзя. Однако знать спектр таких сигналов необходимо, т. к. все информационные сигналы являются непериодическими. Для построения спектра непериодического сигнала производят следующую процедуру: сигнал мысленно представляют как периодический с произвольным периодом, ддля которого строят спектр. Затем осуществляют предельный переход устремляя период к бесконечности (Т??) (рисунок 15). При этом частота первой гармоники и, соответственно, расстояние между гармоническими составляющими стремится к нулю (f1=1/Т), поэтому все составляющие сливаются друг с другом и образуют сплошной спектр.

Рисунок 15 - Импульсный сигнал u(t) и его представление периодическим сигналом

Форма спектра непериодических сигналов обозначается огибающей (сплошной линией) (рисунок 16).

Рисунок 16 - Спектральная диаграмма непериодического сигнала

Ряд Фурье, для таких сигналов, также нельзя записать, т. к. в этом случае амплитуда постоянной составляющей и коэффициенты ak и bk равны нулю. В этом случае значение сигнала в любой момент времени также равно нулю, что является не верным. Поэтому для таких сигналов используют преобразования Фурье:

Выражение (27) является обратным преобразованием, а (28) прямым преобразованием Фурье.
Величина S(?) является комплексной спектральной плотностью непериодического сигнала u(t). Она равна:

S(?) = S(?)e ^(-j?(?)) (29)

где S(?) спектральная плотность амплитуд или амплитудный спектр непериодического сигнала, а?(?) — фазовый спектр непериодического сигнала.
Спектральная плотность амплитуд непериодического сигнала на любой частоте? равна суммарной амплитуде составляющих находящихся в малой полосе?? в окрестностях частоты? пересчитанных на 1 Герц.
Временные диаграммы и спектральные плотности амплитуд для прямоугольного и треугольного импульсов представлены на рисунке 18:

Рисунок 18 - Спектральное представление непериодических сигналов: а) прямоугольный импульс; б) треугольный импульс

2.1. Спектры периодических сигналов

Периодическим сигналом (током или напряжением) называют такой вид воздействия, когда форма сигнала повторяется через некоторый интервал времени T , который называется периодом. Простейшей формой периодического сигнала является гармонический сигнал или синусоида, которая характеризуется амплитудой, периодом и начальной фазой. Все остальные сигналы будут негармоническими или несинусоидальными . Можно показать, и практика это доказывает, что, если входной сигнал источника питания является периодическим, то и все остальные токи и напряжения в каждой ветви (выходные сигналы) также будут периодическими. При этом формы сигналов в разных ветвях будут отличаться друг от друга.

Существует общая методика исследования периодических негармонических сигналов (входных воздействий и их реакций) в электрической цепи, которая основана на разложении сигналов в ряд Фурье. Данная методика состоит в том, что всегда можно подобрать ряд гармонических (т.е. синусоидальных) сигналов с такими амплитудами, частотами и начальными фазами, алгебраическая сумма ординат которых в любой момент времени равна ординате исследуемого несинусоидального сигнала. Так, например, напряжение u на рис. 2.1. можно заменить суммой напряжений и , поскольку в любой момент времени имеет место тождественное равенство: . Каждое из слагаемых представляет собой синусоиду, частота колебания которой связана с периодом T целочисленными соотношениями.

Для рассматриваемого примера имеем период первой гармоники совпадающим с периодом негармонического сигнала T 1 = T , а период второй гармоники в два раза меньшим T 2 = T /2, т.е. мгновенные значения гармоник должны быть записаны в виде:

Здесь амплитуды колебаний гармоник равны между собой ( ), а начальные фазы равны нулю.

Рис. 2.1. Пример сложения первой и второй гармоники

негармонического сигнала

В электротехнике гармоническая составляющая, период которой равен периоду негармонического сигнала, называется первой или основной гармоникой сигнала. Все остальные составляющие называются высшими гармоническими составляющими. Гармоника, частота которой в k раз больше первой гармоники (а период, соответственно, в k раз меньше), называется

k - ой гармоникой. Выделяют также среднее значение функции за период, которое называют нулевой гармоникой. В общем случае ряд Фурье записывают в виде суммы бесконечного числа гармонических составляющих разных частот:

где k - номер гармоники; - угловая частота k - ой гармоники;

ω 1 = ω =2 π / T - угловая частота первой гармоники; - нулевая гармоника.

Для сигналов часто встречающихся форм разложение в ряд Фурье можно найти в специальной литературе. В таблице 2 приведены разложения для восьми форм периодических сигналов. Следует отметить, что приведенные в таблице 2 разложения будут иметь место, если начало системы координат выбраны так, как это указано на рисунках слева; при изменении начала отсчета времени t будут изменяться начальные фазы гармоник, амплитуды гармоник при этом останутся такими же. В зависимости от типа исследуемого сигнала под V следует понимать либо величину, измеряемую в вольтах, если это сигнал напряжения, либо величину, измеряемую в амперах, если это сигнал тока.

Разложение в ряд Фурье периодических функций

Таблица 2

Сигналы 7 и 8 формируются из синусоиды посредством схем, использующих вентильные элементы.

Совокупность гармонических составляющих, образующих сигнал несинусоидальной формы, называется спектром этого негармонического сигнала. Из этого набора гармоник выделяют и различают амплитудный и фазовый спектр. Амплитудным спектром называют набор амплитуд всех гармоник, который обычно представляют диаграммой в виде набора вертикальных линий, длины которых пропорциональны (в выбранном масштабе) амплитудным значениям гармонических составляющих, а место на горизонтальной оси определяется частотой (номером гармоники) данной составляющей. Аналогично рассматривают фазовые спектры как совокупность начальных фаз всех гармоник; их также изображают в масштабе в виде набора вертикальных линий.

Следует заметить, что начальные фазы в электротехнике принято измерять в пределах от –180 0 до +180 0 . Спектры, состоящие из отдельных линий, называют линейчатыми или дискретными . Спектральные линии находятся на расстоянии f друг от друга, где f - частотный интервал, равный частоте первой гармоники f .Таким образом, дискретные спектры периодических сигналов имеют спектральные составляющие с кратными частотами - f , 2f , 3f , 4f , 5f и т.д.

Пример 2.1. Найти амплитудный и фазовый спектр для сигнала прямоугольной формы, когда длительности положительного и отрицательного сигнала равны, а среднее значение функции за период равно нулю

Для сигналов простыхчасто используемых форм решение целесообразно находить с помощью таблиц.

Рис. 2.2. Линейчатый амплитудный спектр прямоугольного сигнала

Из разложения в ряд Фурье сигнала прямоугольной формы (см. табл.2 - 1) следует, что гармонический ряд содержит только нечетные гармоники, при этом амплитуды гармоник убывают пропорционально номеру гармоники. Амплитудный линейчатый спектр гармоник представлен на рис. 2.2. При построении принято, что амплитуда первой гармоники (здесь напряжения) равна одному вольту: B; тогда амплитуда третьей гармоники будет равна B, пятой - B и т.д. Начальные фазы всех гармоник сигнала равны нулю, следовательно, фазовый спектр имеет только нулевые значения ординат.

Задача решена.

Пример 2.2. Найти амплитудный и фазовый спектр для напряжения, изменяющегося по закону: при -T /4<t <T /4; u (t ) = 0 при T /4<t <3/4T . Такой сигнал формируется из синусоиды посредством исключения (схемным путем с использованием вентильных элементов) отрицательной части гармонического сигнала.

а)б)

Рис. 2.3. Линейчатый спектр сигнала однополупериодного выпрямления: а)амплитудный; б)фазовый

Для сигнала однополупериодного выпрямления синусоидального напряжения (см. табл.2 - 8) ряд Фурье содержит постоянную составляющую (нулевую гармонику), первую гармонику и далее набор только четных гармоник, амплитуды которых быстро убывают с ростом номера гармоники. Если, например, положить величину V = 100 B, то, умножив каждое слагаемое на общий множитель 2V/π , найдем (2.2)

Амплитудный и фазовый спектры этого сигнала изображены на рис.2.3а,б.

Задача решена.

В соответствии с теорией рядов Фурье точное равенство негармонического сигнала сумме гармоник имеет место только при бесконечно большом числе гармоник. Расчет гармонических составляющих на ЭВМ позволяет анализировать любое число гармоник, которое определяется целью расчета, точностью и формой негармонического воздействия. Если длительность сигнала t независимо от его формы много меньше периода T , то амплитуды гармоник будут убывать медленно, и для более полного описания сигнала приходится учитывать большое число членов ряда. Эту особенность можно проследить для сигналов, представленных в таблице 2 - 5 и 6, при выполнении условия τ <<T . Если негармонический сигнал по форме близок к синусоиде (например, сигналы 2 и 3 в табл.2), то гармоники убывают быстро, и для точного описания сигнала достаточно ограничиться тремя - пятью гармониками ряда.